3. Faktorisasi Suku Aljabar
BAHAN AJAR MATEMATIKA SMP
KELAS VIII
DISUSUN
OLEH HENDRIPAL.SPd
Standar Kompetensi
Memahami bentuk aljabar,
relasi, fungsi, dan
persamaan garis lurus.
Kompetensi Dasar
1.1 Melakukan operasi aljabar.
1.2 Menguraikan bentuk aljabar
ke dalam factorfaktornya.
Bab 1
1 Faktorisasi Suku Aljabar
Masih ingatkah kamu tentang penjumlahan
bilangan bulat? Coba kerjakan beberapa soal
berikut.
2+ (-3) = . . .
-4 - (-5) = . . .
7 + (-2) = . . .
Jika kamu lupa, sebaiknya kamu pelajari kembali.
Pemahaman tentang penjumlahan bilangan bulat diperlukan untuk dapat memahami
materi pada Bab 1 ini dengan baik. Misalkan kamu
akan berbelanja 5kg gula dan 7 kg beras. Jika harga gula adalah g rupiah perkilogram
dan harga beras adalah b rupiah perkilogram, maka uang yang harus kamu bayar
adalah 5g + 7b rupiah.
Bentuk 5g+7b adalah salah satu contoh
bentuk aljabar. Pada bentuk aljabar 5g+7b, g dan b disebut
variabel. Bilangan 5 disebut koefisien dari g dan 7 disebut koefisien dari b.
5g dan 7b disebut suku dari bentuk aljabar 5g+7b. Jadi 5g+7b terdiri
dari dua suku. Bentuk aljabar yang terdiri dari dua suku
disebut suku dua (binomial), yang mempunyai tiga suku disebut suku tiga (trinomial) dan yang terdiri dari dari satu suku disebut suku
satu (monomial). Bentuk aljabar yang mempunyai dua suku atau lebih
disebut suku banyak
(polinomial).
Berikut ini beberapa contoh dari bentuk aljabar.
1. 2h+6s-7k adalah
contoh suku tiga(trinomial).
1.1 Suku Banyak
Apa yang akan kamu
pelajari?
Mengelompokkan sukusuku sejenis
dari suatu suku banyak. Menyederhanakan suku banyak Menentukan hasil kali suatu
bilangan dengan suku dua. Menentukan hasil kali suku satu dengan suku
dua.
Menentukan hasil kali suku dua
dengan suku dua.Menentukan perpangkatan suku dua
Kata Kunci:
Suku-suku sejenis
Suku banyak (polinomial)
Suku satu (monomial)
Suku dua (binomial)
Suku tiga (trinomial)
Sifat Distributif
A Pengertian
suku banyak
Variabelnya adalah h, s dan k. Bilangan 2 adalah koefisiendari h, 6 adalah koefisien s dan -7 adalah koefisien k.
2. -4w + 8 adalah contoh suku dua (binomial). Variabelnya adalah
w. Bilangan 8 disebut dengan konstanta.
Nama Suku Banyak Contoh
Suku dua (Binomial) 5h+2 f 8 c+2 C2 + 3C
Suku tiga (Trinomial) 3h+2f+m 52c+36w+4 C2-5c+2
Suku banyak yang lain (dapat memiliki suku-suku yang terbatas):
c4 +
r3+2c+5+z 2x3 + 4x2+8t+z-3 3c3+3f+3h+2m+2x-5
Bila suatu bentuk hanya memiliki satu suku, maka bentuk itu disebut
monomial (suku satu) dan tidak termasuk dalam suku banyak.
Berikut contoh suku satu
7h, 3x2 z, 6cdr
Agar mudah dibaca dan difahami, penulisan suku banyak biasanya
memperhatikan urutan pangkat variabel dan urutan Huruf yang dipakai sebagai
variabel.
a) 2s2 +
3a − 6y3 + 2a3 + 5t5 − 7 sering ditulis sebagai
5t 5 + 2a3 + 3a − 6y3 +
2s2 −
7 .
b) − 2x2 + 4 p2 − 5x + 6y3 +
2 p3 +
8 + 5t 2 sering ditulis
2 p3 + 4 p2 + 6y3 + 5t 2 − 2x2 + 8
Menyederhanakan Bentuk Aljabar
Ingatkah kamu bagaimana mengkombinasi dan
menyederhanakan bentuk aljabar seperti h + h + k + s + k + c
+ h ?
Ingat bahwa ada beberapa variabel yang sama. Kita menyebutnya
suku sejenis. Jika bentuk aljabar tersebut panjang dan
membingungkan, bentuk aljabar tersebut dapat dikelompokkan
berdasarkan suku-suku yang sama. Bila bentuk aljabar tersebut
dikelompokkan berdasarkan suku-suku yang sama, maka akan
diperoleh
( h + h + h ) + ( k + k ) + s + c = 3h + 2k + s +
c .
Contoh 1
Faktorisasi Suku Aljabar
Berikut ini diberikan beberapa contoh dari beberapa bentuk
aljabar yang sering dilihat dalam buku-buku matematika.
a) 2x - 5 - 3x + 1 = 2x - 3x - 5 + 1
= (2-3)x -4
= -1x - 4.
-1x selanjutnya boleh hanya ditulis dengan -x, demikian juga
1x boleh hanya ditulis dengan x.
b) 5k + 4j - 2h -8k + 6 - 7h = 5k - 8k + 4j -2h - 7h +6
= -3k +4j -9h+6.
Contoh 2
Contoh 3
Masih Ingatkah kamu?
Suku pada bentuk aljabar dapat berupa bilangan atau variabel atau
suatu perkalian antara bilangan dan variabel.
Suku sejenis adalah suku-suku yang memuat variabel yang
sama.
Konstanta adalah suku yang tidak memuat variabel.
Kerjakan
Bersama-sama
Untuk memudahkan memahami cara menyederhanakan bentuk
aljabar, kita dapat menggunakan bantuan model.
Model yang digunakan di sini dinamakan ubin aljabar.
Bentuk 2x - 5 - 3x + 1 dapat dimodelkan seperti
berikut.
M o d e l t e r s e b u t d a p a t
disederhanakan dengan cara mengelompokkan model-model sejenis.
Jika pada pengelompokan itu terdapat pasangan nol, maka semua pasangan nol yang
ada dihapus.diperoleh
Jadi bentuk sederhana dari 2x-3x-5+1 adalah -x-4
1 Faktorisasi Suku Aljabar
Selanjutnya pikirkan dan diskusikan!
1. Tuliskan bentuk-bentuk aljabar berikut dalam bentuk yang
paling sederhana.
a. 4x - 2x b. 5 + 2x - 1 c. 3x - 6x + 4
d. 8 + 3x - x - 6 e. 6 + 6x f. 3x + 3x - x
g. 4x2 - x h. 5x2 + 2x - 3 i. 2x3 - 3x -x2 + 2x + 5
2. Gunakanlah ubin aljabar untuk menjelaskan bahwa
z - 4z = - 3z.
3. Cobalah kamu tulis satu contoh dan satu non-contoh dari
suku satu, suku dua dan suku tiga. Jelaskan mengapa disebut
contoh dan mengapa non-contoh!
1. Gunakanlah model ubin aljabar untuk menyederhanakan -y
+ 5 + 3y – 4.
2. Sederhanakanlah setiap bentuk aljabar berikut.
a. x + 1,3 + 7x
b. 7y2 – 3y + 4y + 8y2 + 4y
c. c2 + 2c – c2 – c
3. Tiga orang siswa menyederhanakan 3p – 4p. Masing-masing
memperoleh hasil –1, –p, –1p. Tulislah jawaban manakah yang
benar dan jelaskan alasanmu.
4. Tulislah tiga bentuk aljabar yang merupakan binomial
atau
suku dua. Jelaskan mengapa ketiga bentuk tersebut disebut
binomial.
5. Tentukan apakah setiap bentuk aljabar berikut merupakan
polinomial.
Jika ya, tentukan apakah sebagai monomial, binomial,
atau trinomial.
6. Pertanyaan Terbuka. Tulislah bentuk aljabar yang memuat
4 suku dan dapat disederhanakan menjadi 2 suku.
a. 2
x b. –5 c. ab c
c
− d. 3x2 + 4x – 2
7. Ukuran dari dua sudut suatu segitiga
ditunjukkan pada gambar di
samping. Tentukan jumlah dari
ukuran kedua sudut tersebut.
Latihan 1.1.a
2.
Perkalian Bentuk Aljabar
PERKALIAN SUKU DUA
Kerjakan secara Bersama-sama Bahan: ubin aljabar Ubin aljabar
dinamai berdasarkan luas suatu persegi atau persegipanjang. Luas suatu persegipanjang
merupakan hasil kali dari panjang dan lebarnya. Kamu dapat menggunakan ubin
aljabar untuk memodelkan persegi panjang yang lebih kompleks. Persegipanjang-persegipanjang
ini akan membantu kamu memahami bagaimana menentukan hasil kali suku dua yang
bentuknya sederhana.Panjang dan lebar masing-masing menyatakan faktor yang
dikalikan.
Tugasmu!
Kerjakanlah dengan teman kelompokmu bagaimana menentukan
x(x + 2).
Caranya adalah seperti berikut.
• Buatlah sebuah persegipanjang dengan panjang x + 2
dan
lebar x. Gunakan ubin aljabar untuk menandai faktor
yang dikalikan.
• Gunakan tanda itu sebagai pedoman mengisi persegipanjang
dengan ubin aljabar.
B
Faktorisasi Suku Aljabar
Pada bagian Lab Mini, kita telah menentukan luas suatu
persegipanjang dengan menggunakan bantuan model aljabar.
Sekarang kita akan menggunakan sifat distributif yang telah
kamu pelajari di Kelas VII.
Cobalah kamu selesaikan perkalian suku satu dan suku dua
berikut tanpa menggunakan model, tetapi gunakan sifat
distributif.
a. 7(2x + 5)
b. (3x – 7) 4x
Tentukan luas persegipanjang itu dengan menggunakan dua cara.
Cara I:
menjumlahkan luas ubin-ubin aljabar yang menutupi persegi- panjang
itu.
Cara II:
menggunakan rumus luas suatu persegipanjang dan menerapkan sifat
distributif perkalian terhadap penjumlahan.
• Bandingkan jawaban yang kamu peroleh dari kedua cara di atas.
Diskusikanlah!
1. Nyatakan apakah setiap pernyataan berikut benar atau salah.
Periksa jawabanmu dengan menggunakan ubin aljabar.
a.x(2x + 3) = 2x2 + 3x b.2x(3x + 4) = 6x2 + 8x
2. Tentukan hasil setiap perkalian berikut dengan menggunakan ubin
aljabar.
a.x(x + 5) b. 2x(x + 2)
c. 3x(2x + 1)
3. Misalkan Agus mempunyai sebuah taman yang ukuran panjang setiap
sisinya x meter. Jika Agus bermaksud memperluas taman itu dengan panjang
menjadi dua kali dari ukuran semula dan lebarnya ditambah 3 meter. Bagaimana
luas dari taman yang baru tersebut.
3 .Masalah Genetika
Keterkaitan. Berabad-abad orang telah tertarik
mengapa satu generasi berbeda satu sama lain dan mengapa anak mirip dengan
orang tuanya.
a. Jika ayah dan ibu dari suatu keluarga berkulit hitam, apakah
ada
kemungkinan anak dari orang tua itu
berkulit putih? Jelaskan alasanmu.
b. Jika ayah dan ibu dari suatu keluarga berhidung mancung, apakah
ada kemungkinan anak dari orang tua tersebut berhidung pesek? Jelaskan
alasanmu.
Dalam diri manusia terdapat gen yang menentukan sifat keturunan.
Misalkan, sepasang orang tua mempunyai rambut keriting dengan genotif Kk. Gen K menunjukkan gen dominan untuk
rambut keriting dan gen k menunjukkan gen resesif untuk
rambut lurus. Huruf di bagian kotak paling kiri dan atas menyatakan gen orang
tua. Sedangkan huruf di dalam kotak
menunjukkan kemungkinan kombinasi gen.
Contoh 3
Perkalian suku satu dengan suku dua dapat dimodelkan sebagai
suatu
persegipanjang yang dibentuk dengan menggunakan ubin aljabar.
• Bentuk aljabar (x + 2) 2x dimodelkan sebagai persegipanjang
yang
panjang x + 2 dan lebarnya 2x.
• Hasil dari (x + 2) 2x menyatakan luas persegipanjang, dapat
ditentukan
dengan dua cara.
Cara I:
Jumlahkan luas ubin-ubin aljabar pembentuk persegipanjang.
Yaitu:
x2 + x2 + x + x + x + x = 2x2 + 4x
Cara II:
Menerapkan sifat distributif:
(x + 2) 2x = (x) 2x + (2) 2x = 2x2 + 4x
Faktorisasi Suku Aljabar
Apabila gen orang tua digabungkan
maka semua kombinasi yang mungkin
adalah
(K + k)(K + k) = KK + Kk + Kk + kk
= KK + 2Kk + kk
Arti dari kombinasi gen di atas adalah, kemungkinan jenis rambut
anak dari kedua orang tua tersebut adalah rambut keriting atau
rambut lurus.
(K + k)(K + k) adalah satu contoh perkalian suku
dua dengan
suku dua.
Coba tuliskan contoh lain bentuk perkalian suku dua dengan suku
dua.
Ubin aljabar dapat juga digunakan untuk membantumu dalam memahami
perkalian suku dua dengan suku dua. Berikut ini diberikan beberapa masalah
Kerjakan bersama-sama
1. Selesaikanlah perkalian (x + 3)(x + 2) dengan
mengacu pada Lab Mini halaman 8. Jelaskan
langkah-langkah yang kamu gunakan.
2. Sebuah kebun berbentuk persegipanjang. Panjang kebun itu 5 m
lebihnya dari dua kali lebar kebun. Pada kedua sisi kebun terdapat
jalan dengan lebar 1 m. Luas jalan pinggir kebun adalah 24 m2.
Berapakah panjang dan lebar kebun tersebut?
Untuk menjawab permasalahan ke-2 tersebut, kamu dapat menggunakan
ubin aljabar guna memodelkan permasalahan di
atas.
Eksplorasi. Misal x menyatakan lebar kebun.
• Maka 2x + 5 menyatakan panjang kebun.
• x + 1 menyatakan lebar kebun dan jalan.
• 2x + 6 menyatakan panjang kebun dan
jalan.
• Jadi x(2x + 5) = luas kebun.
• (x + 1)(2x + 6) = luas kebun dan jalan.
Lebar kebun adalah 6 m.
Panjang kebun (2x + 5) m= (2(6) + 5) m = 17 m.
Coba periksa apakah hasil yang diperoleh sudah cocok, jika
x = 6 kamu substitusikan pada persamaan (*)!
Apakah kamu dapat menyelesaikan soal ini dengan cara lain?
Jelaskan!
3. Selesaikan dengan menggunakan langkah-langkah yang kamu
gunakan!
a. (2x + 3)(3x + 5) b. (2x + 1)(5x – 3)
Cara lain yang dapat digunakan untuk menentukan hasil kali dua
buah suku dua dengan cara seperti berikut ini.
( a + b) ( c + d) = a.c + a.d + b.c + b.d
1. (2x + 5)(x+2) = 2x.x + 2x.2+ 5.x+5.2
= 2x2 + 4x + 5x + 10
= 2x2 + 9x + 10
Contoh 4
Penyelesaian: (x + 1)(2x + 6) – x(2x + 5) = 24 (Mengapa?)
2x2+6x + 2x + 6 – 2x2 – 5x = 24 (Mengapa?)
(2x2 –2x2) + (6x + 2x –5x) + 6 = 24 (Mengapa?)
3x + 6 = 24 (Mengapa?)
3x = 18 (Mengapa?)
x = 6 (Mengapa?)
(x + 1)(2x + 6) – x(2x + 5) = 24 ( * )
Faktorisasi Suku Aljabar
2. (-x+3) (3x-2) = (-x) 3x + (-x).(-2) + 3.3x + 3 (-2)
= -3x2 + 2x + 9x - 6
= -3x2 + 11x – 6
Tidak ada komentar:
Posting Komentar