3. Faktorisasi Suku Aljabar

BAHAN AJAR MATEMATIKA SMP

KELAS VIII

DISUSUN

OLEH HENDRIPAL.SPd

Standar Kompetensi

Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan

persamaan garis lurus.

Kompetensi Dasar

1.1 Melakukan operasi aljabar.

1.2 Menguraikan bentuk aljabar ke dalam factorfaktornya.

Bab 1

1 Faktorisasi Suku Aljabar

Masih ingatkah kamu tentang penjumlahan

bilangan bulat? Coba kerjakan beberapa soal

berikut.

2+ (-3) = . . .

-4 - (-5) = . . .

7 + (-2) = . . .

Jika kamu lupa, sebaiknya kamu pelajari kembali. Pemahaman tentang penjumlahan bilangan bulat diperlukan untuk dapat memahami

materi pada Bab 1 ini dengan baik. Misalkan kamu akan berbelanja 5kg gula dan 7 kg beras. Jika harga gula adalah g rupiah perkilogram dan harga beras adalah b rupiah perkilogram, maka uang yang harus kamu bayar

adalah 5g + 7b rupiah.

Bentuk 5g+7b adalah salah satu contoh

bentuk aljabar. Pada bentuk aljabar 5g+7b, g dan b disebut variabel. Bilangan 5 disebut koefisien dari g dan 7 disebut koefisien dari b. 5g dan 7b disebut suku dari bentuk aljabar 5g+7b. Jadi 5g+7b terdiri

dari dua suku. Bentuk aljabar yang terdiri dari dua suku disebut suku dua (binomial), yang mempunyai tiga suku disebut suku tiga (trinomial) dan yang terdiri dari dari satu suku disebut suku satu (monomial). Bentuk aljabar yang mempunyai dua suku atau lebih disebut suku banyak (polinomial).

Berikut ini beberapa contoh dari bentuk aljabar.

1. 2h+6s-7k adalah contoh suku tiga(trinomial).

1.1 Suku Banyak

Apa yang akan kamu

pelajari?

Mengelompokkan sukusuku sejenis dari suatu suku banyak. Menyederhanakan suku banyak Menentukan hasil kali suatu bilangan dengan suku dua. Menentukan hasil kali suku satu dengan suku

dua.

Menentukan hasil kali suku dua dengan suku dua.Menentukan perpangkatan suku dua

Kata Kunci:

Suku-suku sejenis

Suku banyak (polinomial)

Suku satu (monomial)

Suku dua (binomial)

Suku tiga (trinomial)

Sifat Distributif

A Pengertian suku banyak

Variabelnya adalah h, s dan k. Bilangan 2 adalah koefisiendari h, 6 adalah koefisien s dan -7 adalah koefisien k.

2. -4w + 8 adalah contoh suku dua (binomial). Variabelnya adalah w. Bilangan 8 disebut dengan konstanta.

Nama Suku Banyak Contoh

Suku dua (Binomial) 5h+2 f 8 c+2 C2 + 3C

Suku tiga (Trinomial) 3h+2f+m 52c+36w+4 C2-5c+2

Suku banyak yang lain (dapat memiliki suku-suku yang terbatas):

c4 + r3+2c+5+z 2x3 + 4x2+8t+z-3 3c3+3f+3h+2m+2x-5

Bila suatu bentuk hanya memiliki satu suku, maka bentuk itu disebut monomial (suku satu) dan tidak termasuk dalam suku banyak.

Berikut contoh suku satu

7h, 3x2 z, 6cdr

Agar mudah dibaca dan difahami, penulisan suku banyak biasanya memperhatikan urutan pangkat variabel dan urutan Huruf yang dipakai sebagai variabel.

a) 2s2 + 3a − 6y3 + 2a3 + 5t5 − 7 sering ditulis sebagai

5t 5 + 2a3 + 3a − 6y3 + 2s2 − 7 .

b) − 2x2 + 4 p2 − 5x + 6y3 + 2 p3 + 8 + 5t 2 sering ditulis

2 p3 + 4 p2 + 6y3 + 5t 2 − 2x2 + 8

Menyederhanakan Bentuk Aljabar

Ingatkah kamu bagaimana mengkombinasi dan

menyederhanakan bentuk aljabar seperti h + h + k + s + k + c

+ h ?

Ingat bahwa ada beberapa variabel yang sama. Kita menyebutnya

suku sejenis. Jika bentuk aljabar tersebut panjang dan

membingungkan, bentuk aljabar tersebut dapat dikelompokkan

berdasarkan suku-suku yang sama. Bila bentuk aljabar tersebut

dikelompokkan berdasarkan suku-suku yang sama, maka akan

diperoleh

( h + h + h ) + ( k + k ) + s + c = 3h + 2k + s + c .

Contoh 1

Faktorisasi Suku Aljabar

Berikut ini diberikan beberapa contoh dari beberapa bentuk

aljabar yang sering dilihat dalam buku-buku matematika.

a) 2x - 5 - 3x + 1 = 2x - 3x - 5 + 1

= (2-3)x -4

= -1x - 4.

-1x selanjutnya boleh hanya ditulis dengan -x, demikian juga

1x boleh hanya ditulis dengan x.

b) 5k + 4j - 2h -8k + 6 - 7h = 5k - 8k + 4j -2h - 7h +6

= -3k +4j -9h+6.

Contoh 2

Contoh 3

Masih Ingatkah kamu?

Suku pada bentuk aljabar dapat berupa bilangan atau variabel atau

suatu perkalian antara bilangan dan variabel.

Suku sejenis adalah suku-suku yang memuat variabel yang

sama.

Konstanta adalah suku yang tidak memuat variabel.

Kerjakan Bersama-sama

Untuk memudahkan memahami cara menyederhanakan bentuk

aljabar, kita dapat menggunakan bantuan model.

Model yang digunakan di sini dinamakan ubin aljabar.

Bentuk 2x - 5 - 3x + 1 dapat dimodelkan seperti berikut.

M o d e l t e r s e b u t d a p a t

disederhanakan dengan cara mengelompokkan model-model sejenis. Jika pada pengelompokan itu terdapat pasangan nol, maka semua pasangan nol yang ada dihapus.diperoleh

Jadi bentuk sederhana dari 2x-3x-5+1 adalah -x-4

1 Faktorisasi Suku Aljabar

Selanjutnya pikirkan dan diskusikan!

1. Tuliskan bentuk-bentuk aljabar berikut dalam bentuk yang

paling sederhana.

a. 4x - 2x b. 5 + 2x - 1 c. 3x - 6x + 4

d. 8 + 3x - x - 6 e. 6 + 6x f. 3x + 3x - x

g. 4x2 - x h. 5x2 + 2x - 3 i. 2x3 - 3x -x2 + 2x + 5

2. Gunakanlah ubin aljabar untuk menjelaskan bahwa

z - 4z = - 3z.

3. Cobalah kamu tulis satu contoh dan satu non-contoh dari

suku satu, suku dua dan suku tiga. Jelaskan mengapa disebut

contoh dan mengapa non-contoh!

1. Gunakanlah model ubin aljabar untuk menyederhanakan -y

+ 5 + 3y – 4.

2. Sederhanakanlah setiap bentuk aljabar berikut.

a. x + 1,3 + 7x

b. 7y2 – 3y + 4y + 8y2 + 4y

c. c2 + 2c – c2 – c

3. Tiga orang siswa menyederhanakan 3p – 4p. Masing-masing

memperoleh hasil –1, –p, –1p. Tulislah jawaban manakah yang

benar dan jelaskan alasanmu.

4. Tulislah tiga bentuk aljabar yang merupakan binomial atau

suku dua. Jelaskan mengapa ketiga bentuk tersebut disebut

binomial.

5. Tentukan apakah setiap bentuk aljabar berikut merupakan polinomial.

Jika ya, tentukan apakah sebagai monomial, binomial,

atau trinomial.

6. Pertanyaan Terbuka. Tulislah bentuk aljabar yang memuat

4 suku dan dapat disederhanakan menjadi 2 suku.

a. 2

x b. –5 c. ab c

c

− d. 3x2 + 4x – 2

7. Ukuran dari dua sudut suatu segitiga

ditunjukkan pada gambar di

samping. Tentukan jumlah dari

ukuran kedua sudut tersebut.

Latihan 1.1.a

2. Perkalian Bentuk Aljabar

PERKALIAN SUKU DUA

Kerjakan secara Bersama-sama Bahan: ubin aljabar Ubin aljabar dinamai berdasarkan luas suatu persegi atau persegipanjang. Luas suatu persegipanjang merupakan hasil kali dari panjang dan lebarnya. Kamu dapat menggunakan ubin aljabar untuk memodelkan persegi panjang yang lebih kompleks. Persegipanjang-persegipanjang ini akan membantu kamu memahami bagaimana menentukan hasil kali suku dua yang bentuknya sederhana.Panjang dan lebar masing-masing menyatakan faktor yang dikalikan.

Tugasmu!

Kerjakanlah dengan teman kelompokmu bagaimana menentukan

x(x + 2).

Caranya adalah seperti berikut.

• Buatlah sebuah persegipanjang dengan panjang x + 2

dan

lebar x. Gunakan ubin aljabar untuk menandai faktor

yang dikalikan.

• Gunakan tanda itu sebagai pedoman mengisi persegipanjang

dengan ubin aljabar.

B

Faktorisasi Suku Aljabar

Pada bagian Lab Mini, kita telah menentukan luas suatu

persegipanjang dengan menggunakan bantuan model aljabar.

Sekarang kita akan menggunakan sifat distributif yang telah

kamu pelajari di Kelas VII.

Cobalah kamu selesaikan perkalian suku satu dan suku dua

berikut tanpa menggunakan model, tetapi gunakan sifat

distributif.

a. 7(2x + 5)

b. (3x – 7) 4x

Tentukan luas persegipanjang itu dengan menggunakan dua cara.

Cara I:

menjumlahkan luas ubin-ubin aljabar yang menutupi persegi- panjang

itu.

Cara II:

menggunakan rumus luas suatu persegipanjang dan menerapkan sifat

distributif perkalian terhadap penjumlahan.

• Bandingkan jawaban yang kamu peroleh dari kedua cara di atas.

Diskusikanlah!

1. Nyatakan apakah setiap pernyataan berikut benar atau salah.

Periksa jawabanmu dengan menggunakan ubin aljabar.

a.x(2x + 3) = 2x2 + 3x b.2x(3x + 4) = 6x2 + 8x

2. Tentukan hasil setiap perkalian berikut dengan menggunakan ubin

aljabar.

a.x(x + 5) b. 2x(x + 2)

c. 3x(2x + 1)

3. Misalkan Agus mempunyai sebuah taman yang ukuran panjang setiap sisinya x meter. Jika Agus bermaksud memperluas taman itu dengan panjang menjadi dua kali dari ukuran semula dan lebarnya ditambah 3 meter. Bagaimana luas dari taman yang baru tersebut.

3 .Masalah Genetika

Keterkaitan. Berabad-abad orang telah tertarik mengapa satu generasi berbeda satu sama lain dan mengapa anak mirip dengan orang tuanya.

a. Jika ayah dan ibu dari suatu keluarga berkulit hitam, apakah ada

kemungkinan anak dari orang tua itu

berkulit putih? Jelaskan alasanmu.

b. Jika ayah dan ibu dari suatu keluarga berhidung mancung, apakah ada kemungkinan anak dari orang tua tersebut berhidung pesek? Jelaskan alasanmu.

Dalam diri manusia terdapat gen yang menentukan sifat keturunan. Misalkan, sepasang orang tua mempunyai rambut keriting dengan genotif Kk. Gen K menunjukkan gen dominan untuk rambut keriting dan gen k menunjukkan gen resesif untuk rambut lurus. Huruf di bagian kotak paling kiri dan atas menyatakan gen orang tua. Sedangkan huruf di dalam kotak

menunjukkan kemungkinan kombinasi gen.

Contoh 3

Perkalian suku satu dengan suku dua dapat dimodelkan sebagai suatu

persegipanjang yang dibentuk dengan menggunakan ubin aljabar.

• Bentuk aljabar (x + 2) 2x dimodelkan sebagai persegipanjang yang

panjang x + 2 dan lebarnya 2x.

• Hasil dari (x + 2) 2x menyatakan luas persegipanjang, dapat ditentukan

dengan dua cara.

Cara I:

Jumlahkan luas ubin-ubin aljabar pembentuk persegipanjang. Yaitu:

x2 + x2 + x + x + x + x = 2x2 + 4x

Cara II:

Menerapkan sifat distributif:

(x + 2) 2x = (x) 2x + (2) 2x = 2x2 + 4x

Faktorisasi Suku Aljabar

Apabila gen orang tua digabungkan

maka semua kombinasi yang mungkin

adalah

(K + k)(K + k) = KK + Kk + Kk + kk

= KK + 2Kk + kk

Arti dari kombinasi gen di atas adalah, kemungkinan jenis rambut

anak dari kedua orang tua tersebut adalah rambut keriting atau

rambut lurus.

(K + k)(K + k) adalah satu contoh perkalian suku dua dengan

suku dua.

Coba tuliskan contoh lain bentuk perkalian suku dua dengan suku dua.

Ubin aljabar dapat juga digunakan untuk membantumu dalam memahami perkalian suku dua dengan suku dua. Berikut ini diberikan beberapa masalah

Kerjakan bersama-sama

1. Selesaikanlah perkalian (x + 3)(x + 2) dengan

mengacu pada Lab Mini halaman 8. Jelaskan

langkah-langkah yang kamu gunakan.

2. Sebuah kebun berbentuk persegipanjang. Panjang kebun itu 5 m lebihnya dari dua kali lebar kebun. Pada kedua sisi kebun terdapat

jalan dengan lebar 1 m. Luas jalan pinggir kebun adalah 24 m2. Berapakah panjang dan lebar kebun tersebut?

Untuk menjawab permasalahan ke-2 tersebut, kamu dapat menggunakan ubin aljabar guna memodelkan permasalahan di

atas.

Eksplorasi. Misal x menyatakan lebar kebun.

• Maka 2x + 5 menyatakan panjang kebun.

• x + 1 menyatakan lebar kebun dan jalan.

• 2x + 6 menyatakan panjang kebun dan jalan.

• Jadi x(2x + 5) = luas kebun.

• (x + 1)(2x + 6) = luas kebun dan jalan.

Lebar kebun adalah 6 m.

Panjang kebun (2x + 5) m= (2(6) + 5) m = 17 m.

Coba periksa apakah hasil yang diperoleh sudah cocok, jika

x = 6 kamu substitusikan pada persamaan (*)!

Apakah kamu dapat menyelesaikan soal ini dengan cara lain?

Jelaskan!

3. Selesaikan dengan menggunakan langkah-langkah yang kamu gunakan!

a. (2x + 3)(3x + 5) b. (2x + 1)(5x – 3)

Cara lain yang dapat digunakan untuk menentukan hasil kali dua buah suku dua dengan cara seperti berikut ini.

( a + b) ( c + d) = a.c + a.d + b.c + b.d

1. (2x + 5)(x+2) = 2x.x + 2x.2+ 5.x+5.2

= 2x2 + 4x + 5x + 10

= 2x2 + 9x + 10

Contoh 4

Penyelesaian: (x + 1)(2x + 6) – x(2x + 5) = 24 (Mengapa?)

2x2+6x + 2x + 6 – 2x2 – 5x = 24 (Mengapa?)

(2x2 –2x2) + (6x + 2x –5x) + 6 = 24 (Mengapa?)

3x + 6 = 24 (Mengapa?)

3x = 18 (Mengapa?)

x = 6 (Mengapa?)

(x + 1)(2x + 6) – x(2x + 5) = 24 ( * )

 Faktorisasi Suku Aljabar

2. (-x+3) (3x-2) = (-x) 3x + (-x).(-2) + 3.3x + 3 (-2)

= -3x2 + 2x + 9x - 6

= -3x2 + 11x – 6